Jak najdu integrální int (ln (x)) ^ 2dx?

Naším cílem je snížit moc #ln x # tak, že integrál je snazší vyhodnotit.

Toho můžeme dosáhnout pomocí integrace částí. Mějte na paměti vzorec IBP:

#int u dv = uv - int v du #

Nyní necháme #u = (lnx) ^ 2 #, a #dv = dx #.

Proto, #du = (2lnx) / x dx #

#v = x #.

Nyní, po sestavení kusů, dostaneme:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Tento nový integrál vypadá mnohem lépe! Zjednodušuje a přináší konstantu vpřed:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Abychom se zbavili tohoto dalšího integrálu, uděláme druhou integraci podle částí, pronájmu #u = ln x # a #dv = dx #.

Tím pádem, #du = 1 / x dx # a #v = x #.

Montáž nám dává:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Vše, co zbývá udělat, je zjednodušit a mít na paměti přidávání konstanty integrace:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

A máme to. Nezapomeňte, že integrace podle částí je o vychystávání # u # aby se z integrandu odstranily nepořádné věci. V tomto případě jsme přinesli # (ln x) ^ 2 # dolů #ln x #a pak dolů # 1 / x #. Nakonec, někteří #X#Je zrušeno a integrace je snazší.

Jak najdu integrální int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Použití integrace pomocí částí, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Nezapomeňte, že integrace podle částí používá vzorec: intu dv = uv - intv du Který je založen mimo pravidlo produktu pro deriváty: uv = vdu + udv Abychom mohli tento vzorec použít, musíme se rozhodnout, který termín bude u, a který bude dv. Užitečný způsob, jak zjistit, který termín jde, kde je metoda ILATE. Inverzní Trig Logaritmy Algebra Trig Exponenciály To vám dává pořadí priorit

Jak najdu integrální int (x * cos (5x)) dx?

Budeme mít na paměti vzorec pro integraci částí, což je: int u dv = uv - int v du Abychom tento integrál úspěšně našli, necháme u = x a dv = cos 5x dx. Proto du = dx a v = 1/5 sin 5x. (v lze nalézt pomocí rychlé u-substituce) Důvod, proč jsem si vybral x pro hodnotu u, je proto, že vím, že později skončím integrací v násobené u derivací. Vzhledem k tomu, že derivace u je jen 1, a protože integrace trigonové funkce sama o sobě neznamená, že by to bylo složitější, efektivně jsme odstranili x z integrandu a teď se musíme starat pouz

Jak najdu integrální int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Tento integrál bude vyžadovat integraci částí. Mějte na paměti vzorec: int u dv = uv - int v du Budeme u = x a dv = e ^ (- x) dx. Proto du = dx. Nalezení v bude vyžadovat u-substituci; Budu používat písmeno q místo u, protože jsme již pomocí u v integraci podle vzorce části. v = int e ^ (- x) dx nechť q = -x. tedy, dq = -dx Opíšeme integrál, přidáme dvě negativy, abychom mohli pojmout dq: v = -int -e ^ (- x) dx Napsáno v termínech q: v = -int e ^ (q) dq Proto, v = -e ^ (q) Nahr