Jak najdu integrální int (x * cos (5x)) dx?

Budeme mít na paměti vzorec pro integraci částí, což je:

#int u dv = uv - int v du #

Abychom tento integrál úspěšně našli, necháme #u = x #, a #dv = cos 5x dx #. Proto, #du = dx # a #v = 1/5 sin 5x #. (#proti# lze nalézt pomocí rychlé # u #- náhrada)

Důvod, proč jsem se rozhodl #X# pro hodnotu # u # Je to proto, že vím, že později budu integrovat #proti# násobí # u #derivace. Od derivátu # u # je jen #1#a protože integrace funkce trigonometru sama o sobě neznamená, že by byla složitější, efektivně jsme odstranili #X# od integrandu a teď se musí starat jen o sinus.

Tím, že se připojíme k vzorci IBP, dostaneme:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Tahání #1/5# z integrandu nám dává:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Integrace sine bude trvat jen # u #- náhrada. Protože jsme už použili # u # pro vzorec IBP budu dopis používat # q # místo toho:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Získat # 5 dx # uvnitř integrandu násobím integrál jiným #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

A nahrazení všeho z hlediska # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Víme, že integrál #hřích# je # -cos #, takže můžeme tento integrál snadno ukončit. Zapamatujte si konstantu integrace:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Teď jednoduše nahradíme # q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

A je tu náš integrál.

Jak najdu integrální int (ln (x)) ^ 2dx?

Naším cílem je snížit sílu ln x tak, že integrál je snazší vyhodnotit. Toho můžeme dosáhnout pomocí integrace částí. Mějte na paměti vzorec IBP: int u dv = uv - int v du Nyní budeme u = (lnx) ^ 2 a dv = dx. Proto du = (2lnx) / x dx a v = x. Nyní, sestavení kusů dohromady, dostaneme: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Tento nový integrál vypadá mnohem lépe! Zjednodušení trochu, a uvedení konstanty zepředu, výnosy: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Nyní, abychom se zbavili tohoto další

Jak najdu integrální int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Použití integrace pomocí částí, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Nezapomeňte, že integrace podle částí používá vzorec: intu dv = uv - intv du Který je založen mimo pravidlo produktu pro deriváty: uv = vdu + udv Abychom mohli tento vzorec použít, musíme se rozhodnout, který termín bude u, a který bude dv. Užitečný způsob, jak zjistit, který termín jde, kde je metoda ILATE. Inverzní Trig Logaritmy Algebra Trig Exponenciály To vám dává pořadí priorit

Jak najdu integrální int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Tento integrál bude vyžadovat integraci částí. Mějte na paměti vzorec: int u dv = uv - int v du Budeme u = x a dv = e ^ (- x) dx. Proto du = dx. Nalezení v bude vyžadovat u-substituci; Budu používat písmeno q místo u, protože jsme již pomocí u v integraci podle vzorce části. v = int e ^ (- x) dx nechť q = -x. tedy, dq = -dx Opíšeme integrál, přidáme dvě negativy, abychom mohli pojmout dq: v = -int -e ^ (- x) dx Napsáno v termínech q: v = -int e ^ (q) dq Proto, v = -e ^ (q) Nahr