Jak najdu integrální int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Použití integrace podle částí,

# intx ^ 2sinpixdx #

#=#

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Nezapomeňte, že integrace podle částí používá vzorec:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

Který je založen na pravidlech pro produkty derivátů:

#uv = vdu + udv #

Abychom mohli tento vzorec použít, musíme se rozhodnout, který termín bude # u #a který bude # dv #. Užitečný způsob, jak zjistit, který termín jde, kde je ILATE metoda.

Inverzní Trig

Logaritmy

Algebra

Trig

Exponenciály

To vám dává pořadí priority, pro který se termín používá.# u #“, tak co je zbylé stane se náš # dv #. Naše funkce obsahuje # x ^ 2 # a # sinpix #Metoda ILATE nám to říká # x ^ 2 # by měly být použity jako naše # u #, protože je algebraické a vyšší na seznamu než # sinpix #, což je trig.

Nyní máme:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

Další položky, které ve vzorci potřebujeme, jsou "# du #" a "#proti#", které získáme nalezením derivace"# u #"a integrál"# dv #'.

Derivát je získán pomocí pravidla výkonu:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

Pro integrál můžeme použít substituci.

použitím #w = pix #, skončíme s tím # (- 1 / pi) cosw #

Nyní máme:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

Při připojení k našemu původnímu vzorci Integration by Parts máme:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #

Nyní nám zbývá další integrál, který musíme ještě jednou vyřešit integrací ze strany. Zatažením #2# z integrálu jsme ponecháni #u = x #, #dv = cospix #. Tím, že projdeme stejným procesem z minulosti, dostaneme:

#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

Tento poslední integrál můžeme vyřešit s posledním kolem substituce, což nám dává:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

Umístění všeho, co jsme našli společně, nyní máme:

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix # #

Nyní můžeme zjednodušit negativy a závorky, abychom získali konečnou odpověď:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #

Klíčem je zapamatovat si, že skončíte s řetězcem více termínů, které budou přidávány nebo odečítány společně. Neustále rozdělujete integrál na menší, zvládnutelné části, které musíte sledovat pro konečnou odpověď.

Jak najdu integrální int (ln (x)) ^ 2dx?

Naším cílem je snížit sílu ln x tak, že integrál je snazší vyhodnotit. Toho můžeme dosáhnout pomocí integrace částí. Mějte na paměti vzorec IBP: int u dv = uv - int v du Nyní budeme u = (lnx) ^ 2 a dv = dx. Proto du = (2lnx) / x dx a v = x. Nyní, sestavení kusů dohromady, dostaneme: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Tento nový integrál vypadá mnohem lépe! Zjednodušení trochu, a uvedení konstanty zepředu, výnosy: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Nyní, abychom se zbavili tohoto další

Jak najdu integrální int (x * cos (5x)) dx?

Budeme mít na paměti vzorec pro integraci částí, což je: int u dv = uv - int v du Abychom tento integrál úspěšně našli, necháme u = x a dv = cos 5x dx. Proto du = dx a v = 1/5 sin 5x. (v lze nalézt pomocí rychlé u-substituce) Důvod, proč jsem si vybral x pro hodnotu u, je proto, že vím, že později skončím integrací v násobené u derivací. Vzhledem k tomu, že derivace u je jen 1, a protože integrace trigonové funkce sama o sobě neznamená, že by to bylo složitější, efektivně jsme odstranili x z integrandu a teď se musíme starat pouz

Jak najdu integrální int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Tento integrál bude vyžadovat integraci částí. Mějte na paměti vzorec: int u dv = uv - int v du Budeme u = x a dv = e ^ (- x) dx. Proto du = dx. Nalezení v bude vyžadovat u-substituci; Budu používat písmeno q místo u, protože jsme již pomocí u v integraci podle vzorce části. v = int e ^ (- x) dx nechť q = -x. tedy, dq = -dx Opíšeme integrál, přidáme dvě negativy, abychom mohli pojmout dq: v = -int -e ^ (- x) dx Napsáno v termínech q: v = -int e ^ (q) dq Proto, v = -e ^ (q) Nahr