Řešit ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Odpovědět:

Rychlá skica …

Vysvětlení:

Vzhledem k:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # s #a! = 0 #

Tohle je dost rychle, takže dám jen jednu metodu …

Vynásobte číslem # 256a ^ 3 # a nahradit #t = (4ax + b) # získat deprimovaný monic quartic formuláře:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Všimněte si, že toto nemá žádný termín v # t ^ 3 #, musí faktor ve formuláři:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-At + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (bílá) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Rovnoměrné koeficienty a přeskupení, máme:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Najdeme tedy:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (bílá) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (bílá) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Vynásobení, násobení # A ^ 2 # a mírným přeskupením se to stává:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Toto "kubické v # A ^ 2 #"má alespoň jeden skutečný kořen. V ideálním případě má pozitivní reálný kořen, který poskytuje dvě možné reálné hodnoty pro. t #A#. Bez ohledu na to bude kořen krychle.

Vzhledem k hodnotě #A#, my máme:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

# C = 1/2 ((B + C) - (B-C) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Proto dostaneme dvě kvadratiky, které se mají vyřešit.