Každý obdélník je dlouhý 6 cm a široký 3 cm, sdílejí společnou úhlopříčku PQ. Jak se ukazuje, že tanalpha = 3/4?

Odpovědět:

dostanu #tan alfa = tan (pi / 2 - 2 arctan (3/6)) = 3/4 #

Vysvětlení:

Zábava. Můžu myslet na několik různých způsobů, jak to vidět. Pro horizontální obdélník pojďme zavolat vlevo nahoře S a vpravo dole R. Pojďme zavolat vrchol obrázku, roh druhého obdélníku, T.

Máme shodné úhly QPR a QPT.

# tan QPR = tan QPT = frac {text {naproti}} {text {přilehlý}} = 3/6 = 1/2 #

Tečna dvojitý úhel vzorec nám dává #tan RPT #

#tan (2x) = frac {2 tan x} {1 - tan ^ 2 x} #

#tan RPT = frac {2 (1/2)} {1 - (1/2) ^ 2} = 4/3 #

Nyní # alpha # je komplementární úhel RPT (sčítá se k # 90 ^ circ #), tak

# tan alpha = dětská postýlka RPT = 3/4 #

Odpovědět:

Viz níže.

Vysvětlení:

Trojúhelníky # DeltaABP # a # DeltaCBQ # jsou pravoúhlé trojúhelníky, které mají:

# AP = CQ = 3 # a

# / _ ABP = / _ CBQ # protože se jedná o vertikální úhly.

Proto jsou oba trojúhelníky shodné.

To znamená:

# PB = BQ #

Nechat # AB = x # a # BQ = y # pak:

# PB = y #

Víme, že:

# x + y = 6 # cm #color (červená) (Rovnice-1) #

V trojúhelníku # DeltaABP #:

# y ^ 2 = x ^ 2 + 9 # #color (červená) (Rovnice-2) #

Pojďme vyřešit # y # z #color (červená) (Rovnice-1) #:

# y = 6-x #

Zapojme to #color (červená) (Rovnice-2) #:

# (6-x) ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x + x ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x = 9 #

# 12x = 27 #

# x = 9/4 #

# tanalpha = (AB) / (AP) = x / 3 = (9/4) / 3 = 9/12 = 3/4 #