Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) nová otázka ?

#A)#

Stačí si to vzít #Psi ^ "*" Psi #.

#color (modrá) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pixe) / L) #

# = barva (modrá) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix)) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Období lze nalézt s minimálním úsilím, jednoduše tím, že nejprve znáte energie, které jsou konstanty pohybu.

Energie # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # je # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #a energie # phi_2 # je # 4E_1 #. Proto frekvence # omega_2 # z # phi_2 # je čtyřikrát vyšší než # phi_1 # (# omega_1 #).

V důsledku toho období # T_1 = (2pi) / (omega_1) # z # phi_1 # je čtyřikrát vyšší než # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #a je také obdobím # phi_2 #.

Období je tedy #color (modrá) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#C)#

Nechám vás zapojit si to do sebe jako #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. Nemusíte s tím nic dělat …

Víme, že #T = (2pi) / (omega_1) #a to # (iEt) / ℏ = iomegat #, tak

#E_n = omega_nℏ #.

Jako výsledek, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

a

#color (modrá) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4mega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = barva (modrá) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

Pravděpodobnost nalezení částic v # 0, L / 2 # je dán jako

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

První dva termíny jsou symetrické s poloviční amplitudou a výtěžkem #50%# celkově.

Třetí termín by měl pravděpodobnost stacionárního stavu # 4 / (3pi) #, a # cos # je libovolný fázový faktor. Celková pravděpodobnost je tedy

# = barva (modrá) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#E)#

#color (modrá) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Neexistuje žádné triviální řešení tohoto … To se ukazuje být:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = barva (modrá) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#F)#

V #x = L / 2 #, #hřích# termíny jdou #sin (pi / 2) = 1 # a #sin (pi) = 0 #, resp.

Od té doby #sin (pi) = 0 #, časově závislá část #Psi ^ "*" Psi # zmizí a časově nezávislá část zůstane zachována # 1 / L # jako hustota pravděpodobnosti.