Otázka # c7520

Odpovědět:

Pro nalezení řešení použijte identitu dvojitého úhlu pro sinus a jednotkový kruh # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, a # (3pi) / 2 #.

Vysvětlení:

Nejprve používáme důležitou identitu # sin2theta = 2sinthetacostheta #:

# sin2theta-costheta = 0 #

# -> 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

Teď se můžeme zbavit # costheta #:

# 2sinthetacostheta-costheta = 0 #

# -> costheta (2sintheta-1) = 0 #

A pomocí nulové vlastnosti produktu získáme řešení:

# costheta = 0 "a" 2sintheta-1 = 0-> sintheta = 1/2 #

Takže kdy # costheta = 0 # na intervalu # -pi / 2 <= theta <= (3pi) / 2 #? Řešení lze nalézt pomocí jednotkové kružnice a vlastnosti kosinové funkce:

#cos (-theta) = costheta #

Li # theta = pi / 2 #, pak:

#cos (-pi / 2) = cos (pi / 2) #

Z jednotkového kruhu to víme #cos (pi / 2) = 0 #, což také znamená #cos (-pi / 2) = 0 #; jsou tedy dvě řešení # -pi / 2 # a # pi / 2 #. Také nám to říká kruh #cos ((3pi) / 2) = 0 #Takže máme tam další řešení.

Teď na # sintheta = 1/2 #. Opět budeme potřebovat jednotkový kruh k nalezení našich řešení.

Z jednotkového kruhu to víme #sin (pi / 6) = 1/2 #, a #sin ((5pi) / 6) = 1/2 #, takže přidáme # pi / 6 # a # (5pi) / 6 # seznamu řešení.

Nakonec jsme dali dohromady všechna naše řešení: # theta = -pi / 2, pi / 6, pi / 2, (5pi) / 6 #, a # (3pi) / 2 #.

Kruh jednotky