Pokud je to možné, vyhledejte funkci f tak, aby grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Odpovědět:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Vysvětlení:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Now take" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Pak máme jednu a stejnou f, která splňuje podmínky."

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Odpovědět:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Vysvětlení:

V otázce máme špatný zápis, protože operátor del (nebo operátor gradientu) je vektorový diferenciální operátor, Hledáme nějakou funkci #f (x, y) # takové, že:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Kde #bb (grad) # je operátor přechodu:

# "grad" f = bb (grad) f = (částečný f) / (částečný x) bb (ul hat i) + (částečný f) / (částečný x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Z toho vyžadujeme, aby:

# f_x = (částečný f) / (částečný x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 t ….. A

# f_y = (částečný f) / (částečný y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 t ….. B

Pokud integrujeme A wrt #X#při léčbě # y # jako konstantní pak dostaneme:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2

= x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Pokud integrujeme B wrt # y #při léčbě #X# jako konstantní pak dostaneme:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5

= 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Kde #u (y) # je libovolná funkce # y # sám, a #v (x) # je libovolná funkce #X# sama.

Samozřejmě vyžadujeme, aby tyto funkce byly totožné, a proto máme:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

A tak si vybereme #v (x) = x ^ 4 # a #u (y) = y ^ 6 #, které nám dává naše řešení:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Řešení můžeme snadno potvrdit výpočtem parciálních derivátů:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED