Jaká je plocha povrchu vytvořená otáčením f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), xv [1,3] kolem osy x?

Odpovědět:

Určete znaménko, pak jej integrujte podle částí. Oblast je:

# A = 39,6345 #

Vysvětlení:

Musíte vědět, zda #f (x) # je negativní nebo pozitivní v. t #1,3#. Proto:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Pro určení znaménka bude druhý faktor pozitivní, když:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Od té doby # e ^ x> 0 # pro všechny #x in (-oo, + oo) # nerovnost se nemění:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Funkce je tedy pozitivní pouze tehdy, je-li x negativní a naopak. Protože tam je také #X# faktor v #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Je-li jeden faktor kladný, druhý je záporný, takže f (x) je vždy negativní. Oblast:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Použití kalkulačky:

# A = 39,6345 #

Odpovědět:

Plocha = 11 336,8 čtverečních jednotek

Vysvětlení:

dané #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

pro jednoduchost nechat #f (x) = y #

a # y = xe ^ -x -xe ^ x #

první derivát # y '# při výpočtu plochy povrchu.

Plocha # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

kde # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Plocha # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Určete první derivaci # y '#:

odlišit # y = x (e ^ -x - e ^ x) # použitím derivátu vzorce produktu

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

Výsledkem je po zjednodušení a faktoringu výsledek

první derivát # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Vypočítat oblast:

Plocha = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Plocha # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Plocha

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

U komplikovaných integrálů, jako je tento, můžeme použít Simpsonovo pravidlo:

aby

Plocha

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Plocha = -11,336,804

to zahrnuje směr otáčení, takže může být záporná plocha povrchu nebo kladná plocha povrchu. Uvažujme jen o kladné hodnotě Plocha = 11336.804 čtverečních jednotek