Pokud hodíte jednu matrici, jaký je očekávaný počet rolí potřebných k tomu, abyste jednou zařadili každé číslo?

Odpovědět:

# 14.7 "rolí" #

Vysvětlení:

#P "všechna čísla hozena" = 1 - P "1,2,3,4,5 nebo 6 není hozena" #

#P "A nebo B nebo C nebo D nebo E nebo F" = P A + P B + … + P F - #

#P A a B - P A a C …. + P A a B a C + … #

# "Zde je" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Negativní je naše pravděpodobnost."

#sum n * a ^ (n-1) = součet (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) suma a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = součet n * P "všechna čísla hozená po n hodí" #

# = součet n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Musíme odečíst jeden, protože podmínka začátku je P_1 (0)" #

# "udává chybnou hodnotu P = 1 pro n = 1." # #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Odpovědět:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Vysvětlení:

Přemýšlejte o tom jako šest miniher. Pro každou hru hodíme matrici, dokud neuvolníme číslo, které ještě nebylo vráceno - co budeme nazývat "výhrou". Pak začneme další hru.

Nechat #X# být počet rolí potřebných k tomu, aby se každé číslo alespoň jednou vrátilo (tj. vyhrát všech 6 miniher) a nechat # X_i # být počet rolí potřebných pro "vyhrát" číslo mini hry # i # (pro # i # od 1 do 6). Pak každý # X_i # je geometrická náhodná veličina s distribucí # "Geo" (p_i) #.

Očekávaná hodnota každé geometrické náhodné veličiny je # 1 / p_i #.

Pro první hru # p_1 = 6/6 # protože všech 6 výsledků je „nových“. Tím pádem, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Pro druhou hru je 5 ze 6 výsledků nových, takže # p_2 = 5/6 #. Tím pádem, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Pro třetí hru jsou 4 ze 6 možných rolí nové, takže # p_3 = 4/6 #, význam # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

V tomto bodě můžeme vidět vzor. Vzhledem k tomu, že počet "vítězných" rolí se snižuje o 1 pro každou novou hru, pravděpodobnost "výhry" každé hry klesá z #6/6# na #5/6#, pak #4/6#, atd., což znamená očekávaný počet rolí na hru #6/6# na #6/5#, k #6/4#, a tak dále, až do poslední hry, kde očekáváme, že vezme 6 rolí, aby získal poslední číslo.

Tím pádem:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (bílá) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#color (bílá) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (bílá) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

#color (bílá) ("E" (X)) = 14,7 #