Odpovědět:
Viz vysvětlení.
Vysvětlení:
Podle Heinovy definice limitu funkce máme:
#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #
#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #
Tak ukázat, že funkce má NE limit na # x_0 # musíme najít dvě sekvence # {x_n} # a # {bar (x) _n} # takové, že
#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #
a
#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) #
V daném příkladu mohou být tyto sekvence:
# x_n = 1 / (2 ^ n) # a #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #
Obě sekvence se sbíhají # x_0 = 0 #, ale podle vzorce funkce máme:
#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)
protože všechny prvky v # x_n # jsou v #1,1/2,1/4,…#
a pro #bar (x) _n # my máme:
#f (sloupec (x) _1) = f (1) = 2 #
ale pro všechny #n> = 2 # my máme: #f (bar (x) _n) = 1 #
Tak pro #n -> + oo # my máme:
#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)
Obě sekvence pokrývají # x_0 = 0 #, ale limity (*) a (**) jsou NE stejné, takže limit #lim_ {x-> 0} f (x) # neexistuje.
QED
Definici limitu naleznete na Wikipedii na adrese:
Odpovědět:
Zde je důkaz používající negaci definice existence limitu.
Vysvětlení:
Krátká verze
#f (x) # k jednomu číslu # L # protože v každém sousedství #0#, funkce #F# přebírá hodnoty, které se od sebe liší #1#.
Takže bez ohledu na to, co někdo navrhuje # L #, tam jsou body #X# u #0#, kde #f (x) # je alespoň #1/2# jednotky # L #
Dlouhá verze
#lim_ (xrarr0) f (x) # existuje pouze tehdy, pokud
existuje číslo, # L # tak pro všechny #epsilon> 0 #, tady je #delta> 0 # takové, že pro všechny #X#, # 0 <abs (x) <delta # implikuje #abs (f (x) -L) <epsilon #
Negace tohoto je:
#lim_ (xrarr0) f (x) # neexistuje, pouze pokud
pro každé číslo, # L # tady je #epsilon> 0 #, takové, že pro všechny #delta> 0 # tady je #X#, že # 0 <abs (x) <delta # a #abs (f (x) -L)> = epsilon #
Dáno číslo # L #Nechám to #epsilon = 1/2 # (menší # epsilon # bude fungovat i)
Nyní je kladné #delta#, Musím ukázat, že existuje #X# s # 0 <absx <delta # a #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (Odvolej to #epsilon = 1/2 #)
Vzhledem k pozitivnímu #delta#, nakonec # 1/2 ^ n <delta # tak tam je # x_1 # s #f (x_1) = 2 #.
Je zde také prvek # x_2 v RR- {1, 1/2, 1/4,… } # s # 0 <x_2 <delta # a #f (x_2) = 1 #
Li #L <= (1/2) #, pak #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #
Li #L> = (1/2) #, pak #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #
