Jaké jsou absolutní extrémy f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) v [2,9]?

Odpovědět:

Absolutní minimum je # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# který nastane, když # x = 9 #.

Absolutní maximum je # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # který nastane, když # x = 2 #.

Vysvětlení:

Absolutní extrémy funkce jsou největší a nejmenší hodnoty y funkce dané domény. Tato doména nám může být dána (stejně jako v tomto problému) nebo může být doménou samotné funkce. I když dostaneme doménu, musíme zvážit doménu samotné funkce v případě, že vylučuje jakékoli hodnoty dané domény.

#f (x) # obsahuje exponent #1/3#, což není celé číslo. Naštěstí, doména #p (x) = root3 (x) # je # (- oo, oo) # takže tato skutečnost není problém.

Stále však musíme zvážit skutečnost, že jmenovatel se nemůže rovnat nule. Jmenovatel se rovná nule, když #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Žádná z těchto hodnot nespadá do dané oblasti #2,9#.

Obracíme se tedy na nalezení absolutní extrémy #2,9#. Absolutní extrémy se vyskytují v koncových bodech domény nebo při lokálních extrémech, což jsou body, kde funkce mění směr. Lokální extrémy se vyskytují v kritických bodech, což jsou body v doméně, kde se derivace rovná #0# nebo neexistuje. Musíme tedy najít derivaci. Použití pravidla kvocientu:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Pokud to vezmeme v úvahu # -3x ^ (- 2/3) # z čitatele máme:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Neexistují žádné hodnoty #X# na #2,9# kde #f '(x) # neexistuje. Neexistují také žádné hodnoty #2,9# kde #f '(x) = 0 #. Na dané doméně tedy nejsou žádné kritické body.

Pomocí "testu kandidátů" zjistíme hodnoty #f (x) # v koncových bodech. #f (2) = (9 * kořen3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * kořen3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Rychlá kontrola našich kalkulaček ukazuje, že:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (absolutní maximum)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (absolutní minimum)

Jaké jsou absolutní extrémy f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 v [0,3]?

Na [0,3], maximum je 19 (při x = 3) a minimum je -1 (při x = 1). Abychom našli absolutní extrémy (spojité) funkce na uzavřeném intervalu, víme, že extrém se musí vyskytovat buď na kortikálních číslech v intervalu, nebo v koncových bodech intervalu. f (x) = x ^ 3-3x + 1 má derivaci f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 není nikdy definováno a 3x ^ 2-3 = 0 při x = + - 1. Protože -1 není v intervalu [0,3], zahojíme ho. Jediné kritické číslo, které je třeba vzít v úvahu, je 1. f (0) = 1 f (1) = -1 a f (3) = 19. Maximáln

Co věta zaručuje existenci absolutní maximální hodnoty a absolutní minimální hodnotu pro f?

Obecně neexistuje žádná záruka existence absolutní maximální nebo minimální hodnoty f. Jestliže f je spojitý na uzavřeném intervalu [a, b] (to je: na uzavřeném a ohraničeném intervalu), pak věta Extreme Value Theorem zaručuje existenci absolutní maximální nebo minimální hodnoty f na intervalu [a, b] .

Jak zjistíte absolutní maximální a absolutní minimální hodnoty f v daném intervalu: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) na [-1, 5]?

Reqd. extrémní hodnoty jsou -25/2 a 25/2. Používáme substituci t = 5sinx, tv [-1,5]. Všimněte si, že tato substituce je přípustná, protože t v [-1,5] rArr-1 <= t <= 5rArr-1 <= 5sinx <= 5 rArr -1/5 <= sinx <= 1, což platí dobře, jako rozsah hříchové zábavy. je [-1,1]. Nyní, f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sxx * sqrt (25-25sin ^ 2x) = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x Protože, -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 Z tohoto důvodu, reqd. končetiny jsou -25/2 a 25/2.