Dva rohy trojúhelníku mají úhly (3 pi) / 8 a pi / 8. Pokud má jedna strana trojúhelníku délku 3, jaký je nejdelší možný obvod trojúhelníku?

Dva rohy trojúhelníku mají úhly (3 pi) / 8 a pi / 8. Pokud má jedna strana trojúhelníku délku 3, jaký je nejdelší možný obvod trojúhelníku?
Anonim

Nejprve si všimneme, že pokud jsou dva úhly # alpha = pi / 8 # a # beta = (3pi) / 8 #, protože součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy # pi # třetí úhel je: # gamma = pi-pi / 8- (3pi) / 8 = pi / 2 #, takže je to pravý trojúhelník.

Pro maximalizaci obvodu musí být známá strana kratší katétr, takže bude opačný než nejmenší úhel, který je # alpha #.

Přepážka trojúhelníku pak bude:

# c = a / sin alfa = 3 / sin (pi / 8) #

kde #sin (pi / 8) = sin (1 / 2pi / 4) = sqrt ((1-cos (pi / 4)) / 2) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / 2) #

# c = (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) #

zatímco druhý katetus je:

#b = a / tan (pi / 8) #

kde #tan (pi / 8) = sqrt ((1-sqrt (2) / 2) / (1 + sqrt (2) / 2)) #

# b = 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #

Konečně:

# a + b + c = 3+ (3sqrt (2)) / sqrt (1-sqrt (2) / 2) + 3sqrt ((1 + sqrt (2) / 2) / (1-sqrt (2) / 2)) #