Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = xy (1-x-y)?

Odpovědět:

Body #(0,0),(1,0)#, a #(0,1)# jsou sedlové body. Bod #(1/3,1/3)# je místní maximální bod.

Vysvětlení:

Můžeme expandovat #F# na #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Dále vyhledejte dílčí deriváty a nastavte je na nulu.

# frac {částečné f} {částečné x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac {částečné f} {částečné y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Jasně, # (x, y) = (0,0), (1,0), # a #(0,1)# jsou řešení tohoto systému, a tak jsou kritické body #F#. Další řešení lze nalézt v systému # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Řešení první rovnice pro # y # ve smyslu #X# dává # y = 1-2x #, který může být zapojen do druhé rovnice # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Z tohoto, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # také.

Pro testování povahy těchto kritických bodů najdeme druhé deriváty:

# frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}} = - 2y #, # frac {částečně ^ {2} f} {částečně y ^ {2}} = - 2x #, a # frac {částečný ^ {2} f} {částečný x částečný y} = frac {částečný ^ {2} f} {částečný y částečný x} = 1-2x-2y #.

Diskriminační je proto:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Zapojení prvních tří kritických bodů dává:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, a #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, aby tyto body sedla body.

Zapojení do posledního kritického bodu dává #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Všimněte si také, že # frac {částečné ^ {2} f} {částečné x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Proto, #(1/3,1/3)# je umístění s lokální maximální hodnotou #F#. Můžete zkontrolovat, zda je lokální maximální hodnota sama #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Níže je obrázek obrysu mapy (křivek úrovně) #F# (křivky, jejichž výstupem je #F# je konstantní), spolu se 4 kritickými body #F#.

Jaké jsou extrémní a sedlové body f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Doména definice: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval x v (0, + oo). Vyhodnoťte první a druhou derivaci funkce: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritické body jsou řešení: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 a jako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tomto bodě: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, takže kritický bod je místní minimum. Sedlové body jsou řešení: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 a jako f '' (x) je monotónní zvětšení

Jaké jsou extrémy a sedlové body f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Tato funkce nemá žádné stacionární body (jste si jisti, že f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x je ta, kterou jste chtěli studovat ?!). Podle nejrozšířenější definice sedlových bodů (stacionární body, které nejsou extrémy) hledáte stacionární body funkce v její oblasti D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) v RR ^ 2}. Můžeme nyní přepsat výraz uvedený pro f následujícím způsobem: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Způsob, jak je identifikovat, je hledání bodů, které ruší gradie

Jaké jsou extrémní a sedlové body f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

{: ("Kritický bod", "Závěr"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Teorie k identifikaci extrémů z = f (x, y) je: Vyřešit současně kritické rovnice (částečné f) / (částečné x) = (částečný f) / (částečný y) = 0 (tj. z_x = z_y = 0) Vyhodnoťte f_ (xx), f_ (yy) a f_ (xy) (= f_ (yx)) v každém z těchto kritických bodů . Proto vyhodnotit Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 v každém z těchto bodů Určete povahu extrému; {: (Delta> 0, "Tam je m