Ukažte, že 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... do nekonečna = 3 ^ (3/4) .how?

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

#S = sum_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

Víme, že #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x d / (dx) součet (k = 1) ^ oo x ^ k #

a také to #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # a # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # pak

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # a pro #x = 1/3 # my máme

#S = 3/4 # pak konečně

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #

Společný poměr ggeometrické progrese je r první termín progrese je (r ^ 2-3r + 2) a součet nekonečna je S Zobrazit, že S = 2-r (mám) Najděte sadu možných hodnot, které S může trvat?

S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r Protože | r | <1 dostaneme 1 <S <3 # Máme S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k Obecný součet nekonečné geometrické řady je sum_ {k = 0} ^ {infty} ar ^ k = a / {1-r} V našem případě S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2) )} / {1-r} = 2-r Geometrické řady pouze konvergují, když | r | <1, takže dostaneme 1 <S <3 #

Součet série 1 / (1 * 2) - 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) - .... do nekonečna se rovná?

Součet je = 2ln2-1 Obecný termín řady je = (- 1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) Provádíme rozklad na dílčí zlomky 1 / (n (n + 1) ) = A / n + B / (n + 1) = (A (n + 1) + Bn) / (n (n + 1)) So, 1 = A (n + 1) + Bn Když n = 0, =>, 1 = A Když n = -1, =>, 1 = -B Proto 1 / (n (n + 1)) = 1 / n-1 / (n + 1) (-1) ^ (n +1) / (n (n + 1)) = (- 1) ^ (n + 1) / n - (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n-sum_0 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n + 1) ln (1 + x) = sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n * x ^ n sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n = ln2 sum_0 ^ ( oo) (- 1) ^ (n

Pomocí definice konvergence, jak dokazujete, že sekvence {5+ (1 / n)} konverguje z n = 1 do nekonečna?

Nechť: a_n = 5 + 1 / n pak pro libovolné m, n v NN s n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) jako n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m-1 / n a jako 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Vzhledem k reálnému číslu epsilon> 0 zvolte pak celé číslo N> 1 / epsilon. Pro všechna celá čísla m, n> N máme: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon, který dokazuje Cauchyho stav pro konvergenci sekvence.