Společný poměr ggeometrické progrese je r první termín progrese je (r ^ 2-3r + 2) a součet nekonečna je S Zobrazit, že S = 2-r (mám) Najděte sadu možných hodnot, které S může trvat?

Odpovědět:

# S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Od té doby # | r | <1 # dostaneme # 1 <S <3 #

Vysvětlení:

My máme

# S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k #

Obecný součet nekonečné geometrické řady je

#sum_ {k = 0} ^ {infty} a r ^ k = a / {1-r} #

V našem případě, #S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r #

Geometrické řady pouze sbíhají, když # | r | <1 #, tak se dostaneme

# 1 <S <3 #

Odpovědět:

#color (blue) (1 <S <3) #

Vysvětlení:

# ar ^ (n-1) #

Kde # bbr # je společný poměr, # bba # je první termín a # bbn # je n-tý termín.

Řekli jsme, že společný poměr je # r #

První termín je # (r ^ 2-3r + 2) #

Součet geometrických řad je uveden jako:

#a ((1-r ^ n) / (1-r)) #

Pro součet do nekonečna to zjednodušuje:

# a / (1-r) #

Je nám řečeno, že tento součet je S.

Nahrazení v našich hodnotách pro a a r:

# (r ^ 2-3r + 2) / (1-r) = S #

Faktor čitatele:

# ((r-1) (r-2)) / (1-r) = S #

Vynásobte čitatel a jmenovatel #-1#

# ((r-1) (2-r)) / (r-1) = S #

Zrušení:

# (zrušit ((r-1)) (2-r)) / (zrušit ((1-r)) = S #

# S = 2-r #

Pro nalezení možných hodnot si pamatujeme, že geometrická řada má pouze součet do nekonečna, pokud # -1 <r <1 #

# 2-1 <2 -r <1 + 2 #

# 1 <2-r <3 #

tj.

# 1 <S <3 #