Pomocí definice konvergence, jak dokazujete, že sekvence {5+ (1 / n)} konverguje z n = 1 do nekonečna?

Nechat:

#a_n = 5 + 1 / n #

pak pro všechny # m, nv NN # s #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

tak jako #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

a jako # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Dáno jakékoliv reálné číslo #epsilon> 0 #, pak zvolte celé číslo #N> 1 / epsilon #.

Pro všechna celá čísla # m, n> N # my máme:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

který dokazuje Cauchyho stav pro konvergenci posloupnosti.