Jaký je limit jako t se blíží 0 (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Určujeme to pomocí pravidla L'hospital.

Parafrázovat, L'Hospital pravidlo říká, že když daný limit formy #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, kde #f (a) # a #g (a) # jsou hodnoty, které způsobují, že limit je neurčitý (nejčastěji, pokud jsou obě hodnoty 0, nebo nějaká forma), pak pokud jsou obě funkce spojité a diferencovatelné v místě a v blízkosti #A,# jeden může říkat to

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

Nebo slovy, hranice kvocientu dvou funkcí je rovna limitu kvocientu jejich derivátů.

V uvedeném příkladu máme #f (t) = tan (6t) # a #g (t) = sin (2t) #. Tyto funkce jsou spojité a diferencovatelné # t = 0, tan (0) = 0 a sin (0) = 0 #. Tak, naše počáteční #f (a) / g (a) = 0/0 =?.

Proto bychom měli využít pravidla L'Hospital. # d / dt tan (6t) = 6 sec ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. Tím pádem…

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 sek ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 sek ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Odpovědět:

Reqd. Lim.#=3#.

Vysvětlení:

Najdeme to Omezit pomocí následujícího Standardní výsledky:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantha / theta = 1 #

Všimněte si, #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Tady, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Podobně, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Proto Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.