Jaká je derivace této funkce y = cos ^ -1 (-2x ^ 3-3) ^ 3?

Odpovědět:

# d / dx (cos ^ -1u (x)) = (18x ^ 2 (-2x ^ 3-3) ^ 2) / (sqrt (1 - (- 2x ^ 3-3) ^ 6) # 6

Vysvětlení:

Na základě derivace inverzních trigonometrických funkcí máme:

#color (modrá) (d / dx (cos ^ -1u (x)) = - (d / dx (u (x))) ((sqrt (1-u (x) ^ 2)) #

Pojďme najít # d / dx (u (x)) #

Tady,#u (x) # je složená ze dvou funkcí, takže bychom měli použít řetězové pravidlo pro výpočet jeho derivace.

Nechat

#g (x) = - 2x ^ 3-3 # a

#f (x) = x ^ 3 #

My máme #u (x) = f (g (x)) #

Řetězové pravidlo říká:

#color (červená) (d / dx (u (x)) = barva (zelená) (f '(g (x)) * barva (hnědá) (g' (x)) #

Najdeme #color (zelená) (f '(g (x)) #

#f '(x) = 3x ^ 2 # pak, #f '(g (x)) = 3g (x) ^ 2 #

#color (zelená) (f '(g (x)) = 3 (-2x ^ 3-3) ^ 2 #

Najdeme #color (hnědý) (g '(x)) #

#color (hnědý) (g '(x) = - 6x ^ 2) #

#color (červená) ((du (x)) / dx) = barva (zelená) (f '(g (x))) * barva (hnědá) (g' (x)) #

#color (červená) ((du (x)) / dx) = barva (zelená) (3 (-2x ^ 3-3) ^ 2) * (barva (hnědá) (- 6x ^ 2)) #

#color (červená) ((du (x)) / dx) = - 18x ^ 2 (-2x ^ 3-3) ^ 2 #

#color (modrá) (d / dx (cos ^ -1u (x)) = - (d / dx (u (x))) ((sqrt (1-u (x) ^ 2) #

#color (modrá) (d / dx (cos ^ -1u (x)) = - (- 18x ^ 2 (-2x ^ 3-3) ^ 2) / (sqrt (1 - ((- 2x ^ 3-3) ^ 3) ^ 2) #

Proto,

#color (modrá) (d / dx (cos ^ -1u (x)) = (18x ^ 2 (-2x ^ 3-3) ^ 2) / (sqrt (1 - (- 2x ^ 3-3) ^ 6) #