Voda unikající z obrácené kónické nádrže rychlostí 10 000 cm3 / min a zároveň je voda čerpána do nádrže konstantní rychlostí Pokud má nádrž výšku 6 m a průměr nahoře je 4 m a pokud hladina vody stoupá rychlostí 20 cm / min, když je výška vody 2 m, jak zjistíte, jakou rychlostí se voda čerpá do nádrže?

Nechat #PROTI# je objem vody v nádrži, v # cm ^ 3 #; nechat # h # je hloubka / výška vody v cm; a nechte # r # je poloměr povrchu vody (nahoře) v cm. Vzhledem k tomu, že nádrž je obrácený kužel, tak i množství vody. Vzhledem k tomu, že nádrž má výšku 6 ma poloměr v horní části 2 m, znamená to, že podobné trojúhelníky # frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 # aby # h = 3r #.

Objem převráceného kužele vody je pak # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Nyní rozlišujte obě strany s ohledem na čas # t # (v minutách) # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdrac {dr} {dt} # (V tomto kroku se používá pravidlo Řetězec).

Li #V_ {i} # je objem vody, která byla čerpána, pak # frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 piot (frac {200} {3}) ^ {2} cd 20 # (Pokud je výška / hloubka vody 2 metry, je poloměr vody # frac {200} {3} # cm).

Proto # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 cca 847758 frac {box} {cm} ^ 3} {min} #.