Může být funkce na dané doméně kontinuální a nediferencovatelná?

Odpovědět:

Ano.

Vysvětlení:

Jeden z nejpozoruhodnějších příkladů tohoto je Weierstrass funkce, objevil Karl Weierstrass který on definoval v jeho originálním papíru jak: t

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

kde # 0 <a <1 #, # b # je kladné liché celé číslo a #ab> (3pi + 2) / 2 #

Jedná se o velmi špičatou funkci, která je nepřetržitá všude na reálné linii, ale nikde jinde nerozlišitelná.

Odpovědět:

Ano, pokud má "ohnutý" bod. Jedním příkladem je #f (x) = | x | # v # x_0 = 0 #

Vysvětlení:

Nepřetržitá funkce prakticky znamená kreslení, aniž by se tužka z papíru. Matematicky to znamená, že pro každého # x_0 # hodnoty #f (x_0) # jak jsou osloveni nekonečně malými # dx # zleva a doprava musí být stejné:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

kde znaménko mínus znamená blížící se zleva a znaménko plus znamená blížící se zprava.

Funkce diferencovatelná prakticky znamená funkci, která neustále mění svůj sklon (NENÍ při konstantní rychlosti). Funkce, která je v daném bodě nediferencovatelná, tedy prakticky znamená, že náhle změní svůj sklon zleva od tohoto bodu doprava.

Podívejme se na dvě funkce.

#f (x) = x ^ 2 # v # x_0 = 2 #

Graf

graf {x ^ 2 -10, 10, -5,21, 5,21}

Graf (zvětšený)

graf {x ^ 2 0,282, 3,7, 3,073, 4,783}

Od roku # x_0 = 2 # graf může být vytvořen bez odebrání tužky z papíru, funkce je v tomto bodě spojitá. Vzhledem k tomu, že není v tomto bodě ohnutá, je také diferencovatelná.

#g (x) = | x | # v # x_0 = 0 #

Graf

graf {absx -10, 10, -5,21, 5,21}

V # x_0 = 0 # funkce je plynulá, protože může být kreslena bez odebrání tužky z papíru. Vzhledem k tomu, že se v tomto bodě vznáší, funkce není diferencovatelná.