Jaké jsou absolutní extrémy f (x) = x ^ 4 - 8x ^ 2 - 12 v [-3, -1]?

Odpovědět:

#-3# (vyskytuje se na adrese # x = -3 #) a #-28# (vyskytuje se na adrese # x = -2 #)

Vysvětlení:

Absolutní extrémy uzavřeného intervalu se vyskytují v koncových bodech intervalu nebo at #f '(x) = 0 #.

To znamená, že budeme muset nastavit derivaci rovnou #0# a uvidíme co #X#- hodnoty, které nás dostanou, a budeme muset použít # x = -3 # a # x = -1 # (protože se jedná o koncové body).

Takže počínaje převzetím derivace:

#f (x) = x ^ 4-8x ^ 2-12 #

#f '(x) = 4x ^ 3-16x #

Nastavení je rovno #0# a řešení:

# 0 = 4x ^ 3-16x #

# 0 = x ^ 3-4x #

# 0 = x (x ^ 2-4) #

# x = 0 # a # x ^ 2-4 = 0 #

Taková řešení jsou tedy #0,2,# a #-2#.

Okamžitě se zbavíme #0# a #2# protože nejsou v intervalu #-3,-1#, opouštět jen # x = -3, -2, # a #-1# místa, kde se mohou vyskytnout extrémy.

Nakonec je hodnotíme jeden po druhém, abychom zjistili, co jsou absolutní min a max:

#f (-3) = - 3 #

#f (-2) = - 28 #

#f (-1) = - 19 #

Proto #-3# je absolutní maximum a #-28# je absolutní minimum intervalu #-3,-1#.

Jaké jsou absolutní extrémy f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 v [0,3]?

Na [0,3], maximum je 19 (při x = 3) a minimum je -1 (při x = 1). Abychom našli absolutní extrémy (spojité) funkce na uzavřeném intervalu, víme, že extrém se musí vyskytovat buď na kortikálních číslech v intervalu, nebo v koncových bodech intervalu. f (x) = x ^ 3-3x + 1 má derivaci f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 není nikdy definováno a 3x ^ 2-3 = 0 při x = + - 1. Protože -1 není v intervalu [0,3], zahojíme ho. Jediné kritické číslo, které je třeba vzít v úvahu, je 1. f (0) = 1 f (1) = -1 a f (3) = 19. Maximáln

Co věta zaručuje existenci absolutní maximální hodnoty a absolutní minimální hodnotu pro f?

Obecně neexistuje žádná záruka existence absolutní maximální nebo minimální hodnoty f. Jestliže f je spojitý na uzavřeném intervalu [a, b] (to je: na uzavřeném a ohraničeném intervalu), pak věta Extreme Value Theorem zaručuje existenci absolutní maximální nebo minimální hodnoty f na intervalu [a, b] .

Jak zjistíte absolutní maximální a absolutní minimální hodnoty f v daném intervalu: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) na [-1, 5]?

Reqd. extrémní hodnoty jsou -25/2 a 25/2. Používáme substituci t = 5sinx, tv [-1,5]. Všimněte si, že tato substituce je přípustná, protože t v [-1,5] rArr-1 <= t <= 5rArr-1 <= 5sinx <= 5 rArr -1/5 <= sinx <= 1, což platí dobře, jako rozsah hříchové zábavy. je [-1,1]. Nyní, f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sxx * sqrt (25-25sin ^ 2x) = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x Protože, -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 Z tohoto důvodu, reqd. končetiny jsou -25/2 a 25/2.