Co je implicitní derivace 4 = (x + y) ^ 2?

Odpovědět:

Můžete použít počet a strávit několik minut na tento problém, nebo můžete použít algebru a strávit několik sekund, ale v každém případě dostanete # dy / dx = -1 #.

Vysvětlení:

Začněte tím, že vezmete derivaci s ohledem na obě strany:

# d / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 #

Vlevo máme derivaci konstanty - která je spravedlivá #0#. Tím se problém vyřeší na:

# 0 = d / dx (x + y) ^ 2 #

Vyhodnotit # d / dx (x + y) ^ 2 #, musíme použít pravidlo napájení a pravidlo řetězce:

# d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1) #

Poznámka: násobíme # (x + y) '# protože řetězové pravidlo nám říká, že musíme násobit derivaci celé funkce (v tomto případě # (x + y) ^ 2 # vnitřní funkcí (v tomto případě # (x + y) #).

# d / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) #

Pokud jde o # (x + y) '#, všimněte si, že můžeme použít pravidlo součtu k jeho rozdělení # x '+ y' #. #X'# je prostě #1#a protože vlastně nevíme co # y # musíme odejít # y '# tak jako # dy / dx #:

# d / dx (x + y) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Když jsme našli naši derivaci, problém je:

# 0 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Dělat nějakou algebru izolovat # dy / dx #, vidíme:

# 0 = (1 + dy / dx) (2x + 2y) #

# 0 = 2x + dy / dx2x + dy / dx2y + 2y #

# 0 = x + dy / dxx + dy / dxy + y #

# -x-y = dy / dxx + dy / dxy #

# -x-y = dy / dx (x + y) #

# dy / dx = (- x-y) / (x + y) #

Je zajímavé, že se to rovná #-1# pro všechny #X# a # y # (s výjimkou kdy. t # x = -y #). Proto, # dy / dx = -1 #. Mohli jsme to vlastně zjistit bez jakéhokoliv kalkulu! Podívejte se na rovnici # 4 = (x + y) ^ 2 #. Vezměte druhou odmocninu obou stran # + - 2 = x + y #. Nyní odečtěte #X# z obou stran a máme #y = + - 2-x #. Pamatujete si je z algebry? Sklon této čáry je #-1#a protože derivací je svah, mohli jsme právě říci # dy / dx = -1 # a vyhnuli se té práci.