X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (faktorizace)?

Odpovědět:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (x ^ 2- (alfa + bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alpha + omegabar (alfa))) x + 2) #

jak je popsáno níže …

Vysvětlení:

Varování:

Tato odpověď může být mnohem pokročilejší, než byste očekávali.

Poznámky

Je možné zjednodušit a najít:

# alfa + bar (alfa) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alfa) = -1 #

ale není mi (zatím) jasné, jak to nejlépe udělat.

Odpovědět:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Vysvětlení:

Zde je jednodušší metoda …

Vzhledem k:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Vyhledejte faktorizaci formuláře:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alfax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gamma + 2) #

# = x ^ 6 + (alfa + beta + gama) x ^ 5 + (alfabeta + betagamma + gammaalfa + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + beta + gama) + abeceda) x ^ 3 + (2 (alfabeta) + betagamma + gammaalpha +12) x ^ 2 + 4 (alfa + beta + gama) x + 8 #

Rovnocenné koeficienty zjistíme:

# {(alfa + beta + gamma = 0), (alfabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Tak #alpha, beta, gamma # jsou nuly kubické:

# (x-alfa) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alfa + beta + gama) x ^ 2 + (alfabeta + betagamma + gammaalpa) x-abeceda #

# = x ^ 3-6x + 5 #

Všimněte si, že součet koeficientů této krychle je #0#. To je #1-6+5 = 0#.

Proto # x = 1 # je nula a # (x-1) # faktor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Nuly zbývajících kvadratiků lze nalézt pomocí kvadratického vzorce jako:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Tak # {alfa, beta, gama} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Tak:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Bonus

Můžeme zobecnit výše uvedenou derivaci?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + alfax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = x ^ 6 + (alfa + beta + gama) x ^ 5 + (alfabeta + betagamma + gamma + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + beta + gama) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alfabeta + betagamma + gammaalha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + beta + gama) x + q ^ 3 #

Rovnocenné koeficienty:

# {(alfa + beta + gamma = 0), (alfabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Proto #alpha, beta, gamma # jsou nuly:

# x ^ 3-3qx-p #

Pokud tedy najdeme tři skutečné nuly této kubické, pak máme faktorizaci sextiky # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # do tří kvadratik s reálnými koeficienty.