Najděte maxima a minima f (x) = 5sinx + 5cosx v intervalu [0,2pi]?

Odpovědět:

Tady je

• místní maximum na # (pi / 2, 5) # a
• místní minimum na adrese # ((3pi) / 2, -5) #

Vysvětlení:

#color (darkblue) (sin (pi / 4)) = barva (darkblue) (cos (pi / 4)) = barva (darkblue) (1) #

#f (x) = 5sinx + 5cosx #

#color (bílá) (f (x)) = 5 (barva (darkblue) (1) * sinx + barva (darkblue) (1) * cosx) #

#color (bílá) (f (x)) = 5 (barva (darkblue) (cos (pi / 4)) * sinx + barva (darkblue) (sin (pi / 4)) * cosx) #

Aplikujte identitu složeného úhlu pro funkci sinus

#sin (alfa + beta) = sin alfa * cos beta + cos alfa * sin beta #

#color (černá) (f (x)) = 5 * sin (pi / 4 + x) #

Nechat #X# být #X-#koordinace lokálních extrémů této funkce.

# 5 * cos (pi / 4 + x) = f '(x) = 0 #

# pi / 4 + x = pi / 2 + k * pi # kde # k # celé číslo.

# x = -pi / 2 + k * pi #

#x in {pi / 2, (3pi) / 2} #

• #f (pi / 2) = 5 * sin (pi / 2) = 5 #,

  proto je zde místní maximum # (pi / 2, 5) #

• #f (pi / 2) = 5 * sin ((3pi) / 2) = - 5 #,

  proto existuje místní minimum na adrese # (pi / 2, -5) #