Je sekvence a_n = (1 + 3 / n) ^ (4n) konvergentní nebo divergentní?

Odpovědět:

# "Zobrazit vysvětlení" #

Vysvětlení:

#a_n = ((1 + 3 / n) ^ 4) ^ n #

# = (((1 + 3 / n) ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = ((1 + 6 / n + 9 / n ^ 2) ^ 2) ^ n #

# = (1 + 36 / n ^ 2 + 81 / n ^ 4 + 12 / n + 18 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3) ^ n #

# = (1 + 12 / n + 54 / n ^ 2 + 108 / n ^ 3 + 81 / n ^ 4) ^ n #

# "Všimněte si, že byste zde mohli snadněji aplikovat Eulerův limit zde:" #

#lim_ {n-> oo} (1 + 1 / n) ^ n = e = 2,7182818 …. #

# => lim_ {n-> oo} (1 + 3 / n) ^ (12 * n / 3) = e ^ 12 = 162754,79 …. #

# "Takže sekvence roste velmi velká, ale ne nekonečně velká, takže" #

# "konverguje." #