Ukážte, že všechny polygonální sekvence generované řadou aritmetických sekvencí se společným rozdílem d, d v ZZ jsou polygonální sekvence, které mohou být generovány pomocí a_n = an ^ 2 + bn + c?

Odpovědět:

# a_n = P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + b ^ n + c #

s # a = d / 2; b = (2-d) / 2; c = 0 #

# P_n ^ (d + 2) # je polygonální řada hodností, # r = d + 2 #

aritmetické posloupnosti přeskočit počítáním # d = 3 #

budete mít #color (red) (pětiúhelníkový) # sekvence:

# P_n ^ barva (červená) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # dávat # P_n ^ 5 = {1, barva (červená) 5, 12, 22,35,51, cdots} #

Vysvětlení:

Polygonální posloupnost je vytvořena tak, že se vezme # nth # součet aritmetické posloupnosti. V počtu by to byla integrace.

Klíčovou hypotézou tedy je:

Protože aritmetická posloupnost je lineární (myslet lineární rovnice) pak integrace lineární sekvence bude mít za následek polynomiální posloupnost stupně 2.

Teď ukázat tento případ

Začněte s přirozenou sekvencí (přeskočte počítání od 1)

#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #

najít nth součet #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #

# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #

#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n;

# a_n # je aritmetická sekvence s

# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #

#S_n = (1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1) / 2n = n (n + 1) / 2 #

#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} # #

Takže s d = 1 je sekvence ve formě # P_n ^ 3 = an ^ 2 + bn + c #

s #a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #

Nyní zobecnit pro libovolný přeskočit počítadlo #color (červená) d #, #color (red) d in color (blue) ZZ # a # a_1 = 1 #:

# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + barva (červená) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = (2 + barva (červená) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = barva (červená) d / 2n ^ 2 + (2 barvy (červená) d) n / 2 #

Což je obecná forma # P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + bn + c #

s # a = barva (červená) d / 2; b = (2-barva (červená) d) / 2; c = 0 #