Jaké jsou hodnoty r (s r> 0), pro které série konverguje?

Odpovědět:

#r <1 / e # je podmínkou konvergence #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Vysvětlení:

Já jen odpovím na část o konvergenci, první část byla zodpovězena v komentářích. Můžeme použít # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # přepsat částku #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # ve formě

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {pro} p = -ln (r) #

Série na pravé straně je seriál pro slavnou funkci Riemann Zeta. Je dobře známo, že tato řada konverguje, kdy #p> 1 #. Použití tohoto výsledku přímo dává

# -ln (r)> 1 implikuje ln (r) <- 1 implikuje r <e ^ -1 = 1 / e #

Výsledek o funkcích Riemann Zeta je velmi dobře známý, pokud chcete ab initio odpověď, můžete vyzkoušet integrální test konvergence.

Graf funkce f (x) = (x + 2) (x + 6) je uveden níže. Jaké prohlášení o funkci je pravdivé? Funkce je kladná pro všechny reálné hodnoty x, kde x> –4. Funkce je záporná pro všechny reálné hodnoty x, kde –6 <x <–2.

Funkce je záporná pro všechny reálné hodnoty x, kde –6 <x <–2.

Jaké jsou hodnoty pro k, pro které int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Viz. níže. int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) a k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) ale k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) a k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) tak k ^ 6 -2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) nebo {(k + 2 = 0), (k ^ 2) 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} pak konečně reálné hodnoty k = {-2,2} komplexní hodnoty k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3}

Jak dokázat, že série konverguje?

Konverze testem přímého srovnání. Můžeme použít přímý srovnávací test, pokud máme součet (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2), IE, série začíná na jedné. Pro použití testu přímého srovnání musíme prokázat, že a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) je kladný na [1, oo]. Nejdříve si všimněte, že v intervalu [1, oo] je cos (1 / k) kladný. Pro hodnoty x= 1, 1 / k