Jak dokázat, že série konverguje?

Odpovědět:

Konverze testem přímého srovnání.

Vysvětlení:

Můžeme použít přímý srovnávací test, pokud máme

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, série začíná u jednoho.

Abychom mohli použít test přímého srovnání, musíme to dokázat # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # je pozitivní na # 1, oo #.

Nejdříve si všimněte, že v intervalu # 1, oo), cos (1 / k) # je pozitivní. Pro hodnoty #X # cosx # je v prvním kvadrantu (a tedy pozitivním). Dobře #k> = 1, 1 / k tak, #cos (1 / k) # je skutečně pozitivní.

Dále můžeme říci #cos (1 / k) <= 1 #, tak jako #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Pak můžeme definovat novou posloupnost

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # pro všechny # k.

Dobře, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Víme, že to konverguje # p- #série test, je ve formě # sum1 / k ^ p # kde # p = 2> 1 #.

Pak, protože větší série konverguje, tak musí být menší série.

Odpovědět:

Sbližuje se testem přímého srovnání (podrobnosti viz níže).

Vysvětlení:

Rozpoznejte, že rozsah kosinu je -1,1. Podívejte se na graf #cos (1 / x) #:

graf {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Jak vidíte, maximum hodnota, kterou toho dosáhneme, bude 1. Vzhledem k tomu, že se zde snažíme dokázat konvergenci, nastavíme čitatele na 1, takže:

# sum1 / (9k ^ 2) #

To se nyní stává velmi jednoduchým problémem přímého srovnávacího testu. Připomeňme, co dělá test přímého porovnání:

Zvažte libovolnou sérii # a_n # (nevíme, zda konverguje / diverguje) a řadu, pro kterou známe konvergenci / divergenci, # b_n #:

Li #b_n> a_n # a # b_n # konverguje # a_n # také konverguje.

Li #b_n <a_n # a # b_n # diverguje # a_n # také se liší.

Můžeme tuto funkci srovnávat #b_n = 1 / k ^ 2 #. Můžeme to udělat, protože víme, že konverguje (kvůli p-testu).

Od té doby # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, a # 1 / k ^ 2 # konverguje, můžeme říci, že série konverguje

Ale počkejte, pouze jsme dokázali, že tato řada konverguje, když čitatel = 1. Co všechny ostatní hodnoty #cos (1 / k) # mohl vzít? No, pamatujte, že 1 je maximum hodnotu, kterou by mohl čitatel přijmout. Vzhledem k tomu, že jsme dokázali, že tento konverguje, nepřímo jsme dokázali, že tato řada se v čitateli sblížila pro jakoukoli hodnotu.

Doufám, že to pomohlo:)