Jaké jsou hodnoty pro k, pro které int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

a

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # ale

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # a

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # tak

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

nebo

# {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} # #

pak konečně

reálné hodnoty #k = {-2,2} #

komplexní hodnoty #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Odpovědět:

# k = + - 2 #

Vysvětlení:

Požadujeme:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integrací získáme:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 barva (bílá) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Za předpokladu, že #k v RR # (tam jsou vlastně #6# kořeny, #4# z toho jsou složité)

V závislosti na kontextu problému bychom mohli argumentovat #k <2 # (tj # k = -2 #) je neplatná jako #k> = 2 # učinit vnitřní „vlastní“ takovým řešením, ale bez jakéhokoliv kontextu je rozumné zahrnout obě řešení.

Všimněte si toho #k = + - 2 # ukázaly jako řešení, aniž by skutečně prováděly jakoukoli integraci.

Za prvé, vlastnost určitých integrálů je taková, že:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

tak můžeme okamžitě vytvořit # k = 2 # je řešením.

Za druhé, # x ^ 5 # je zvláštní funkce a liché funkce splňují:

# f (-x) = f (x) #

a mají rotační symetrii o původu. jako takový, pokud #f (x) # je pak zvláštní:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

tak můžeme okamžitě vytvořit # k = -2 # je řešením.

Integrace a následné výpočty však dokazují, že se jedná o jediná řešení!