Jaká je rovnice paraboly se zaměřením na (5,3) a přímkou y = -12?

Odpovědět:

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Vysvětlení:

Definice parabola uvádí, že všechny body na parabole mají vždy stejnou vzdálenost od ohniska a přímky.

Můžeme to nechat # P = (x, y) #, který bude představovat obecný bod paraboly, můžeme nechat # F = (5,3) # představují zaměření a # D = (x, -12) # představují nejbližší bod na přímce, #X# je, protože nejbližší bod na directrixu je vždy rovný dolů.

Nyní můžeme nastavit rovnici s těmito body. Pro výpočet vzdáleností použijeme vzorec vzdálenosti:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Můžeme to aplikovat na naše body, abychom nejprve dostali vzdálenost # P # a #F#:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Pak vypořádáme vzdálenost # P # a # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Vzhledem k tomu, že tyto vzdálenosti musí být stejné, můžeme je uvést do rovnice:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Od té chvíle # P # je v obecné podobě a může představovat jakýkoliv bod na parabola, pokud to můžeme jen vyřešit # y # v rovnici zůstaneme s rovnicí, která nám dá všechny body na parabola, nebo jinými slovy, bude to rovnice paraboly.

Nejdříve obejdeme obě strany:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Pak můžeme rozbalit:

# x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Pokud vložíme vše vlevo a sbíráme podobné termíny, dostaneme:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

což je rovnice naší paraboly.