Jak mohu zjednodušit (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Odpovědět:

# cos ^ 5x #

Vysvětlení:

Tento typ problému není opravdu tak špatný, jakmile zjistíte, že se jedná o malou algebru!

Nejdříve přepíšu daný výraz, aby bylo možné lépe porozumět následujícím krokům. Víme, že # sin ^ 2x # je jen jednodušší způsob psaní # (sin x) ^ 2 #. Podobně, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Nyní můžeme původní výraz přepsat.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Teď je tu část zahrnující algebru. Nechat #sin x = a #. Můžeme psát # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # tak jako

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Vypadá to povědomě? Musíme to jen faktorovat! To je dokonalý čtvercový trojzubec. Od té doby # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, můžeme říci

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Nyní přepněte zpět do původní situace. Nahradit #sin x # pro #A#.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (barva (modrá) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Nyní můžeme pomocí trigonometrické identity zjednodušit výrazy modře. Uspořádání identity # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, dostaneme #color (blue) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (barva (modrá) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Jakmile to uděláme, negativní znaky se množí, aby se staly pozitivními.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = cos ^ 5x #

Tím pádem, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.