Jaké jsou lokální extrémy f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5)?

Odpovědět:

#f (x) # má lokální maximum na #approx (0.1032, 15.0510) #

#f (x) # má místní minimum na adrese #approx (3.2301, -0.2362) #

Vysvětlení:

#f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) #

Použít pravidlo produktu.

#f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) #

Použijte pravidlo napájení.

#f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) #

# = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 #

# = 3x ^ 2-10x + 1 #

Pro lokální extrémy #f '(x) = 0 #

Proto, # 3x ^ 2-10x + 1 = 0 #

Použijte kvadratický vzorec.

# x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1) / (2 * 3) #

# = (10 + -sqrt (88)) / 6 #

# cca 3.2301 nebo 0.1032 #

#f '' (x) = 6x-10 #

Pro místní maximum #f '' <0 # v krajním bodě.

Pro místní minimum #f ''> 0 # v krajním bodě.

Testování #f '' (3.2301)> 0 -> f (3.2301) = f_min #

Testování #f '' (0.1032) <0 -> f (0.1032) = f_max #

Proto, #f_max cca (0.1032-3) (0.1032 ^ 2-2 * 0.1032-5) #

#approx 15.0510 #

A, #f_min cca (3.2301-3) (3.2301 ^ 2-2 * 3.2301-5) #

#approx -0.2362 #

#:. f (x) # má lokální maximum na #approx (0.1032, 15.0510) #

# a f (x) # má místní minimum na adrese #approx (3.2301, -0.2362) #

Tyto lokální extrémy můžeme vidět zvětšením příslušných bodů na grafu #f (x) # níže.

graf {(x-3) (x ^ 2-2x-5) -29,02, 28,72, -6,2, 22,63}