Najděte oblast stínované oblasti?

Odpovědět:

Viz níže.

Vysvětlení:

Když se nejprve naučíme najít oblasti integrací, vezmeme reprezentativní obdélníky vertikálně.

Obdélníky mají základnu # dx # (malá změna v #X#) a výšek větších # y # (ten na horní křivce) mínus menší # y # hodnota (na dolní křivce). Pak se integrujeme od nejmenších #X# hodnotu #X# hodnota.

Pro tento nový problém bychom mohli použít dva takové intergrals (viz odpověď Jim S), ale je velmi cenné naučit se proměňovat naše myšlení #90^@#.

Vezmeme reprezentativní obdélníky horizontálně.

Obdélníky mají výšku # dy # (malá změna v # y #) a základy rovné většímu #X# (křivka vpravo) mínus menší #X# (na křivce vlevo). Pak se integrujeme od nejmenších # y # hodnotu # y # hodnota.

Všimněte si dualitu

# {:("vertikální", iff, "horizontální"), (dx, iff, dy), ("horní", iff, "nejvíce vpravo"), ("nižší", iff, "nejvíce vlevo"), (x, iff, y):} #

Fráze "od nejmenší." #X# hodnotu #X# „označuje, že integrujeme zleva doprava #X# hodnoty.)

Fráze "od nejmenší." # y # hodnotu # y # znamená, že integrujeme zdola nahoru # y # hodnoty.)

Zde je obrázek oblasti s uvedeným malým obdélníkem:

Tato oblast je

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Odpovědět:

Oblast stínované oblasti je # 1m ^ 2 #

Vysvětlení:

# x = 1 / y ^ 2 #

# y ^ 2 = 1 / x #

# y = sqrtx / x # (můžeme vidět z grafu)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# x ^ 4-x = 0 # #<=># #x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (můžeme také vidět z grafu)

Jedním z mnoha způsobů, jak lze oblast stínované oblasti vyjádřit, může být oblast trojúhelníku # AhatOB = Ω # vyjma azurové oblasti, kterou budu volat #color (azurová) (Ω_3) #

Nechat #Ω_1# černá plocha uvedená v grafu a #color (zelená) (Ω_2) # zelenou plochu zobrazenou v grafu.

Oblast malého trojúhelníku # ChatAD = # #color (zelená) (Ω_2) # bude:

• #color (zelená) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 1/4 #

Oblast #Ω_1# bude:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Výsledkem bude stínovaná oblast

• #Ω_1## + barva (zelená) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #