Prokázat, že fialová stínovaná oblast se rovná oblasti incircle rovnostranného trojúhelníku (žlutý pruhovaný kruh)?

Odpovědět:

Vysvětlení:

Oblast incircle je # pir ^ 2 #.

Vezmeme-li pravý trojúhelník s přepětí # R # a nohu # r # na základně rovnostranného trojúhelníku, přes trigonometrii nebo vlastnosti #30 -60 -90 # pravých trojúhelníků můžeme navázat vztah # R = 2r #.

Všimněte si, že úhel opačný # r # je #30 # od rovnostranných trojúhelníků #60 # úhlu.

Tento stejný trojúhelník může být vyřešen pomocí Pythagoreanovy věty, která ukazuje, že polovina délky rovnostranného trojúhelníku je #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Nyní zkoumáme polovinu rovnostranného trojúhelníku jako pravoúhlého trojúhelníku a vidíme, že výška # h # rovnostranného trojúhelníku lze řešit z hlediska # r # pomocí vztahu #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Od té doby #tan (60) = sqrt3 #, to se stává # h / (rsqrt3) = sqrt3 # tak # h = 3r #.

Plocha rovnostranného trojúhelníku je pak # 1 / 2bh #a jeho základna je # 2rsqrt3 # a jeho výška # 3r #. Jeho oblast je tedy # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Oblast menší stínované oblasti je rovna jedné třetině plochy rovnostranného trojúhelníku mínus incircle, nebo # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # což je ekvivalentní # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Plocha většího kruhu je # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pi ^ 2 #.

Plocha větší stínované oblasti je jedna třetina větší plochy kruhu mínus plocha rovnostranného trojúhelníku, nebo # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # které se zjednoduší # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Celková plocha stínované plochy je pak # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, která je ekvivalentní oblasti incircle.

Odpovědět:

Vysvětlení:

Pro rovnostranný trojúhelník těžiště, centrum circumcircle a orthocenter se shodují.

Radius cicumcircle (R) a poloměr incircle (r) budou mít následující vztah

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Nyní je z obrázku zřejmé, že oblasti BIG purpurové stínované oblasti# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

A oblasti fialově šedé oblasti# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

kde #Delta # představuje plochu rovnostranného trojúhelníku.

Tak

#color (purple) ("CELKOVÁ oblast BIG a SMALL purpurově stínované oblasti" # #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Vložení R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> barva (oranžová) "Oblast žlutého pruhovaného kruhu" #