Vezměme si 3 stejné kruhy o poloměru r v daném kruhu o poloměru R, které se dotýkají ostatních dvou a daného kruhu, jak je znázorněno na obrázku, pak se oblast stínované oblasti rovná?

Pro oblast stínované oblasti můžeme vytvořit výraz:

#A_ "shaded" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "centrum" #

kde #A_ "centrum" # je oblast malé části mezi třemi menšími kruhy.

Pro nalezení této oblasti můžeme nakreslit trojúhelník spojením středů tří menších bílých kruhů. Protože každý kruh má poloměr # r #, délka každé strany trojúhelníku je # 2r # a trojúhelník je rovnostranný, takže mají úhly # 60 ^ o # každý.

Můžeme tedy říci, že úhel centrální oblasti je oblastí tohoto trojúhelníku mínus tři sektory kruhu. Výška trojúhelníku je jednoduše #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, takže oblast trojúhelníku je # 1/2 * základna * výška = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Plocha tří kruhových segmentů uvnitř tohoto trojúhelníku je v podstatě stejná jako polovina jednoho z kruhů (vzhledem k tomu, že mají úhly # 60 ^ o # každý, nebo #1/6# kruh, takže můžeme odvodit celkovou plochu těchto sektorů # 1/2 pir ^ 2 #.

Nakonec můžeme zjistit oblast středové oblasti, která má být #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Vracíme se tedy zpět k našemu původnímu výrazu

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Odpovědět:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Vysvětlení:

Dejme bílým kruhům poloměr # r = 1 #. Střediska tvoří rovnostranný trojúhelník strany #2#. Každý medián / nadmořská výška je #sqrt {3} # tak vzdálenost od vrcholu k centroidu je # 2/3 sqrt {3} #.

Centroid je střed velkého kruhu, takže je to vzdálenost mezi středem velkého kruhu a středem malého kruhu. Přidáme malý poloměr # r = 1 # dostat

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Oblast, kterou hledáme, je oblast velkého kruhu menší než rovnostranný trojúhelník a zbývající #5/6# každého malého kruhu.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sq {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Jsme měřítko # r ^ 2 # obecně.