Přepište rovnici v otočeném x'y'-systému bez x'y 'termínu. Můžu dostat nějakou pomoc? Dík!

Odpovědět:

Druhý výběr:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Vysvětlení:

Daná rovnice

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

je v obecném kartézském tvaru pro kuželovitou sekci:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

kde # A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 a F = -144 #

Odkaz Rotace os nám dává rovnice, které nám umožňují otočit kuželovitou sekci na určitý úhel, # theta #. Rovněž nám dává rovnici, která nám umožňuje vynutit koeficient # xy # stát se 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Nahrazení hodnot z rovnice 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Zjednodušit:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Použijte rovnici (9.4.4b) k ověření, že nové otáčení způsobuje koeficient # xy # termín je 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # ověřena.

Pro výpočet použijte rovnici (9.4.4a) #A'#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Pro výpočet použijte rovnici (9.4.4c) #C'#:

# C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

# C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Pro výpočet použijte rovnici (9.4.4f) #F'#

#F '= F #

#F '= -144 #

Můžeme nyní napsat neotočenou formu:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Rozdělte obě strany o 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Přidat 1 na obě strany:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Odpovědět:

Možnost B

Vysvětlení:

Můžeme napsat rovnici do maticové formy a pak ji otočit na její hlavní osu.

Nechat:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#impluje a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

A tak v maticové podobě:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad čtverec #

Otáčení os # bbx # podle # theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

Transpozice #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, protože R je ortogonální

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Uvedení těchto posledních 2 výsledků do #náměstí#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW pokud R je matice, která diagonalizuje M, pak máme rovnici z hlediska jejích hlavních os pro diagonální vlastní matici D, tj:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M vlastní čísla jsou 36 a 16, takže může být diagonalizována jako:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #