Maya měří poloměr a výšku kužele s chybami 1% a 2%. Tyto údaje používá k výpočtu objemu kužele. Co může Maya říci o její procentní chybě ve svém výpočtu objemu kužele?

Odpovědět:

#V_ "skutečný" = V_ "měřeno" pm4.05%, pm.03%, pm.05% #

Vysvětlení:

Objem kužele je:

# V = 1/3 pir ^ 2h #

Řekněme, že máme kužel s # r = 1, h = 1. Hlasitost je pak:

# V = 1 / 3pi (1) ^ 2 (1) = pi / 3 #

Podívejme se nyní na každou chybu zvlášť. Chyba v # r #:

#V_ "chyba w / r" = 1 / 3pi (1.01) ^ 2 (1) #

vede k:

# (pi / 3 (1.01) ^ 2) / (pi / 3) = 1.01 ^ 2 = 1.0201 => 2.01% # chyba

A chyba v # h # je lineární a tak 2% objemu.

Pokud chyby jdou stejným způsobem (buď příliš velké nebo příliš malé), máme o něco větší než 4% chybu:

# 1.0201xx1.02 = 1.040502 ~ = 4.05% # chyba

Chyba může jít plus nebo minus, takže konečný výsledek je:

#V_ "skutečný" = V_ "měřeno" pm4.05% #

Můžeme jít dál a uvidíme, že pokud se tyto dvě chyby dostanou proti sobě (jedna je příliš velká, druhá příliš malá), téměř se navzájem zruší:

#1.0201(0.98)~=.9997=>.03%# chyba a

#(1.02)(.9799)~=.9995=>.05%# chyba

A tak můžeme říci, že jedna z těchto hodnot je správná:

#V_ "skutečný" = V_ "měřeno" pm4.05%, pm.03%, pm.05% #