Co je f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx pokud f (pi / 6) = 1?

Odpovědět:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Vysvětlení:

Začneme rozdělením integrálu na tři:

#int e ^ xcos (x) dx-int ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int ^ xcos (x) dx-int ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Zavolám levý integrál Integral 1 a pravý Integral 2

Integrální 1

Zde potřebujeme integraci částí a malý trik. Vzorec pro integraci částí je:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

V tomto případě nechám #f (x) = e ^ x # a #g '(x) = cos (x) #. Dostaneme to

#f '(x) = e ^ x # a #g (x) = sin (x) #.

To dělá náš integrál:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

Nyní můžeme opět aplikovat integraci částí, ale tentokrát #g '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int) ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

Nyní můžeme k oběma stranám přidat integrál, který dává:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integrální 2

Můžeme nejprve použít identitu:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

To dává:

#int ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x dx #

Nyní můžeme použít pythagorskou identitu:

# sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

Nyní můžeme zavést u-substituci # u = cos (x) #. Pak se dělíme derivací, # -sin (x) # integrovat s ohledem na # u #:

# -int (zrušit (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (zrušit (sin (x)) cos ^ 3 (x)) d = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 d = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C#

Dokončení původního integrálu

Teď, když známe Integral 1 a Integral 2, můžeme je zapojit zpět do původního integrálu a zjednodušit tak, abychom získali konečnou odpověď:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Teď, když známe antiderivát, můžeme vyřešit konstantu:

#f (pi / 6) = 1 #

# e ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2 / 3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

To dává naší funkci:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #