Co je derivace -sinu (x)?

Předchozí odpověď obsahuje chyby. Zde je správné odvození.

Zaprvé, znaménko mínus před funkcí #f (x) = - sin (x) #při převzetí derivace by změnil znaménko derivace funkce #f (x) = sin (x) # opaku. Toto je jednoduchá věta v teorii limitů: limit konstanty násobený proměnnou se rovná této konstantě násobené limitem proměnné. Pojďme najít derivaci #f (x) = sin (x) # a pak ji vynásobte #-1#.

Musíme začít z následujícího prohlášení o limitu trigonometrické funkce #f (x) = sin (x) # jeho argument má sklon k nule:

#lim_ (h-> 0) sin (h) / h = 1 #

Důkaz tohoto je čistě geometrický a je založen na definici funkce #sin (x) #. Existuje mnoho webových zdrojů, které obsahují důkaz tohoto prohlášení, jako je stránka Matematika.

Pomocí tohoto můžeme vypočítat derivaci #f (x) = sin (x) #:

#f '(x) = lim_ (h-> 0) (sin (x + h) -sin (x)) / h #

Použití reprezentace rozdílu #hřích# funguje jako produkt #hřích# a # cos # (viz Unizor, Trigonometrie - součet úhlů úhlů - problémy 4), #f '(x) = lim_ (h-> 0) (2 * sin (h / 2) cos (x + h / 2)) / h #

#f '(x) = lim_ (h-> 0) sin (h / 2) / (h / 2) * lim_ (h-> 0) cos (x + h / 2) #

#f '(x) = 1 * cos (x) = cos (x) #

Proto derivát #f (x) = - sin (x) # je #f '(x) = - cos (x) #.