Rozlišujte cos (x ^ 2 + 1) pomocí prvního principu derivace?

Odpovědět:

# -sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Vysvětlení:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

Pro tento problém musíme použít řetězové pravidlo, stejně jako skutečnost, že derivace #cos (u) = -sin (u) #. Řetězové pravidlo v podstatě jen říká, že můžete nejprve odvodit vnější funkci s ohledem na to, co je uvnitř funkce, a pak ji vynásobte derivací toho, co je uvnitř funkce.

Formálně, # dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, kde #u = x ^ 2 + 1 #.

Nejdříve je třeba vypočítat derivaci bitu uvnitř kosinu, totiž # 2x #. Poté, co jsme našli derivaci kosinu (negativní sinus), můžeme ho jen násobit # 2x #.

# = - sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Odpovědět:

Viz níže.

Vysvětlení:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

Musíme najít

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos ((x + h) ^ 2-1) -cos (x ^ 2-1) / h #

Zaměřme se na výraz, který potřebujeme.

# (cos ((x ^ 2-1) + (2xh + h ^ 2)) - cos (x ^ 2-1)) / h #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h ^ 2) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) -cos (x ^ 2-1)) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / h - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h) ^ 2) / (h (2x + h)) (2x + h) #

Použijeme následující limity:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (cena-1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

A #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x #

Vyhodnocení limitu:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sin (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #