Odpovědět:
Odpověď:
Vysvětlení:
Všechny dokonalé čtverce končí v 1, 4, 5, 6, 9, 00 (nebo 0000, 000000 atd.)
Číslo, které končí ve 2,
Pokud se přirozené číslo skládá z těchto tří číslic (0, 3, 7), je nutné, aby číslo skončilo v jednom z nich. Bylo to tak, že toto přirozené číslo nemůže být dokonalým čtvercem.
Čtvrtá síla společného rozdílu aritmetického postupu je s celými položkami přidána k produktu všech čtyř po sobě následujících termínů. Prokázat, že výsledný součet je čtverec celé číslo?
Nechť společný rozdíl AP celých čísel je 2d. Jakékoliv čtyři po sobě následující termíny progrese mohou být reprezentovány jako a-3d, a-d, a + d a a 3d, kde a je celé číslo. Takže součet produktů těchto čtyř termínů a čtvrté síly společného rozdílu (2d) ^ 4 bude = barva (modrá) ((a-3d) (ad) (a + d) (a + 3d)) + barva (červená) ((2d) ^ 4) = barva (modrá) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + barva (červená) (16d ^ 4) = barva (modrá ) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + barva (červená) (16d ^ 4) = barva (zelená
Prokázat, že číslo sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) není racionální pro žádné přirozené číslo n větší než 1?
Viz vysvětlení ...Předpokládejme, že: sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) je racionální Pak musí být jeho čtverec racionální, tj.: 1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n)) a tedy tedy : sqrt (2 + sqrt (3 + ... + sqrt (n))) Můžeme opakovat čtverec a odečíst, abychom zjistili, že následující musí být racionální: {(sqrt (n-1 + sqrt (n)), ( sqrt (n))}} Proto n = k ^ 2 pro některé kladné celé číslo k> 1 a: sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) Poznámka: k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 Tudíž k ^ 2 +
Prokázat, že čísla sekvence 121, 12321, 1234321, ..... jsou každý dokonalý čtverec lichého celého čísla?
Všimli jsme si, že druhá odmocnina 12345678910987654321 není celé číslo, takže náš vzor pojme pouze 12345678987654321. Protože vzor je konečný, můžeme to dokázat přímo. Všimněte si, že: 11 ^ 2 = 121 111 ^ 2 = 12321 1111 ^ 2 = 1234321 ... 111111111 ^ 2 = 12345678987654321 V každém případě máme číslo, které je tvořeno pouze kvadratickým číslem 1, aby bylo dosaženo našeho výsledku. Protože tato čísla končí v 1, musí být lichá. Tak jsme dokázali, že 121, 12321, ..., 12345678987654321 jsou všechny dokonalé čtverce