Všimli jsme si, že druhá odmocnina 12345678910987654321 není celé číslo, takže náš vzor pojme pouze 12345678987654321. Protože vzor je konečný, můžeme to dokázat přímo.
Všimněte si, že:
V každém případě máme celé číslo
Čtvrtá síla společného rozdílu aritmetického postupu je s celými položkami přidána k produktu všech čtyř po sobě následujících termínů. Prokázat, že výsledný součet je čtverec celé číslo?
Nechť společný rozdíl AP celých čísel je 2d. Jakékoliv čtyři po sobě následující termíny progrese mohou být reprezentovány jako a-3d, a-d, a + d a a 3d, kde a je celé číslo. Takže součet produktů těchto čtyř termínů a čtvrté síly společného rozdílu (2d) ^ 4 bude = barva (modrá) ((a-3d) (ad) (a + d) (a + 3d)) + barva (červená) ((2d) ^ 4) = barva (modrá) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + barva (červená) (16d ^ 4) = barva (modrá ) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + barva (červená) (16d ^ 4) = barva (zelená
Tři po sobě jdoucí lichá celá čísla jsou taková, že čtverec třetího čísla je o 345 méně než součet čtverců prvních dvou. Jak zjistíte celá čísla?
Existují dvě řešení: 21, 23, 25 nebo -17, -15, -13 Pokud je nejméně celé číslo n, pak ostatní jsou n + 2 a n + 4 Interpretace otázky, máme: (n + 4) ^ 2 = n ^ 2 + (n + 2) ^ 2-345, který se rozšiřuje na: n ^ 2 + 8n + 16 = n ^ 2 + n ^ 2 + 4n + 4 - 345 barev (bílá) (n ^ 2 + 8n +16) = 2n ^ 2 + 4n-341 Odečtení n ^ 2 + 8n + 16 z obou konců, zjistíme: 0 = n ^ 2-4n-357 barva (bílá) (0) = n ^ 2-4n + 4 -361 barva (bílá) (0) = (n-2) ^ 2-19 ^ 2 barva (bílá) (0) = ((n-2) -19) ((n-2) +19) barva (bílá ) (0) = (n-21) (n + 17) So: n = 21
"Lena má 2 po sobě jdoucí celá čísla."Všimne si, že jejich součet se rovná rozdílu mezi jejich čtverci. Lena vybírá další 2 po sobě jdoucí celá čísla a všimne si totéž. Prokázat algebraicky, že to platí pro všechny 2 po sobě jdoucí celá čísla?
Laskavě se podívejte na Vysvětlení. Připomeňme, že po sobě jdoucí celá čísla se liší o 1. Proto, pokud m je jedno celé číslo, pak musí být následující celé číslo n + 1. Součet těchto dvou celých čísel je n + (n + 1) = 2n + 1. Rozdíl mezi jejich čtverci je (n + 1) ^ 2-n ^ 2, = (n ^ 2 + 2n + 1) -n ^ 2, = 2n + 1, podle potřeby! Cítit radost z matematiky!