Prokázat, že číslo sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) není racionální pro žádné přirozené číslo n větší než 1?

Odpovědět:

Viz vysvětlení …

Vysvětlení:

Předpokládat:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # je racionální

Pak musí být jeho čtverec racionální, tj.:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

a tedy tedy:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Můžeme opakovat čtverec a odečíst, abychom zjistili, že následující musí být racionální:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Proto # n = k ^ 2 # pro některé kladné celé číslo #k> 1 # a:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Všimněte si, že:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Proto # k ^ 2 + k-1 # není čtvercem celého čísla #sqrt (k ^ 2 + k-1) # je iracionální, odporující našemu tvrzení, že #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # je racionální.

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

Za předpokladu

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n)) = p / q # s # p / q # jsme neredukovatelní

#sqrtn = (cdots ((((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1) = P / Q #

což je absurdní, protože podle tohoto výsledku je jakákoliv druhá odmocnina kladného čísla racionální.