Kruh A má střed (3, 5) a plochu 78 pi. Kruh B má střed (1, 2) a plochu 54 pi. Překrývají se kruhy?

Odpovědět:

Ano

Vysvětlení:

Nejprve potřebujeme vzdálenost mezi oběma centry, což je # D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2 = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Nyní potřebujeme součet poloměrů, protože:

#D> (r_1 + r_2); "Kruhy se nepřekrývají" #

# D = (r_1 + r_2);

#D <(r_1 + r_2); "Kruhy se překrývají" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16,2 #

#16.2>3.61#, takže kruhy se překrývají.

Důkaz:

graf {((x-3) ^ 2 (y-5) 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12,64}

Odpovědět:

Tyto překrývají se, pokud #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}.

Můžeme přeskočit kalkulačku a zkontrolovat # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # nebo #4(13)(54) > 11^2# což je jistě ano, tak se překrývají.

Vysvětlení:

Kruhová oblast je samozřejmě #pi r ^ 2 # tak rozdělujeme bezdůvodné # pi #s.

Máme čtvercové poloměry

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

a čtvercovou vzdálenost mezi středy

# d ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

V podstatě chceme vědět, jestli # r_1 + r_2 ge d #pokud můžeme vytvořit trojúhelník ze dvou poloměrů a segmentu mezi středy.

Čtvercové délky jsou všechna pěkná celá čísla a je to dost šílené, že všichni instinktivně dosáhneme po kalkulačce nebo počítači a začneme brát odmocniny.

Nemusíme, ale vyžaduje to malou objížďku. Použijme Heronův vzorec, zavolejme oblast # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # kde # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a) + b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 ((+ + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

To je už lepší než Heron. Ale pokračujeme. Přeskočím některá nuda.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

To je pěkně symetrické, jak bychom očekávali pro oblastní vzorec. Ať je to méně symetrické. Odvolání

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

Přidání, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

To je vzorec pro čtvercovou oblast trojúhelníku vzhledem k čtvercovým délkám stran. Když jsou tyto racionální, tak je to první.

Zkusme to. Můžeme přidělit strany, jak se nám líbí; pro ruční výpočet to nejlepší udělat #C# největší strana, # c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# b ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Ještě před jejím výpočtem můžeme vidět, že máme pozitivní # 16Q ^ 2 # tak skutečný trojúhelník s pozitivní oblastí, tak překrývající se kruhy.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Kdybychom dostali zápornou hodnotu, imaginární oblast, to není skutečný trojúhelník, takže se nepřesahují kruhy.