Kruh A má střed (6, 5) a plochu 6 pi. Kruh B má střed (12, 7) a plochu 48 pi. Překrývají se kruhy?

Odpovědět:

Od té doby

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # a

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

můžeme vytvořit skutečný trojúhelník s hranatými stranami 48, 6 a 40, takže se tyto kruhy protínají.

Vysvětlení:

Proč bezdůvodný # pi #?

Tato oblast je #A = pi r ^ 2 # tak # r ^ 2 = A / pi. První kruh má tedy poloměr # r_1 = sqrt {6} # a druhá # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Centra jsou #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # odděleně.

Kruhy se tedy překrývají, pokud #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

To je tak ošklivé, že vám bude odpuštěno za to, že sáhnete po kalkulačce. Ale opravdu to není nutné. Udělejme si objížďku a podívejte se, jak se to dělá pomocí Rational Trigonometry. Tady nás zajímají jen čtvercové délky, volané kvadranty.

Řekněme, že chceme otestovat tři kvadranty # A, B, C # jsou kvadranty mezi třemi kolineárními body, tj. #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # nebo #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # nebo #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. Napíšeme to jako

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

Squaring, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Opětovné umístění, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Ukazuje se to

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

je diskriminační pro trojúhelníky. Právě jsme ukázali, jestli #mathcal {A} = 0 # to znamená, že máme degenerovaný trojúhelník, vytvořené ze tří kolineárních bodů. Li #mathcal {A}> 0 # pak máme skutečný trojúhelník, každé straně menší než součet ostatních dvou. Li #mathcal {A} <0 # nemáme strany, které by splňovaly nerovnost trojúhelníku, a někdy to nazýváme imaginární trojúhelník.

Vraťme se k naší otázce vyzbrojené novým diskriminačním trojúhelníkem #mathcal {A} #. Pokud se kruhy protínají, můžeme vytvořit trojúhelník dvou center a křižovatky, takže strany budou mít délku # r_1 #, # r_2 #a vzdálenost mezi středisky #(6,5)# a #(12,7)#. My máme

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # takže máme skutečný trojúhelník, tj. překrývající se kruhy.

Jo, pro každý trojúhelník #mathcal {A} = 16 (text {area}) ^ 2. #

Zkontrolujte: Alpha