Otázka # ba262

Odpovědět:

Důkaz je trochu dlouhý, ale zvládnutelný. Viz. níže.

Vysvětlení:

Když se snažíte prokázat identitu, která zahrnuje zlomky, je vždy dobré přidat tyto zlomky jako první:

# sint / (1-cena) + (1 + náklady) / sint = (2 (1 + náklady)) / sint #

# -> sint / (1-cost) sint / sint + (1 + cena) / sint (1-cena) / (1-cena) = (2 (1 + náklady)) / sint #

# -> sin ^ 2t / ((1-cena) (sint) + ((1 + náklady) (1-cena)) / ((1-cena) (sint)) (2 (1 + náklady)) / sint #

# -> (sin ^ 2t + (1 + náklady) (1-cena)) / ((1-cena) (sint)) (2 (1 + náklady)) / sint #

Výraz # (1 + cena) (1 cena) # je vlastně rozdíl převrácených čtverců:

# (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

S # a = 1 # a # b = cena #. Vyhodnocuje # (1) ^ 2- (cena) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Můžeme jít ještě dál # 1-cos ^ 2t #. Připomeňme si základní Pythagorean Identity:

# cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Odečítání # cos ^ 2x # z obou stran vidíme:

# sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Od té doby #X# je jen zástupná proměnná, to můžeme říci # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. Proto # (1 + cena) (1 cena) # se stává # sin ^ 2t #:

# (sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1-cena) (sint)) (2 (1 + náklady)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-cena) (sint)) (2 (1 + náklady)) / sint #

Poznámka: sines zruší:

# (2záznam (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1-cena) zrušit ((sint)) = (2 (1 + náklady)) / sint #

# -> (2sint) / (1-cena) = (2 (1 + náklady)) / sint #

Už jsme skoro hotovi. Posledním krokem je vynásobit levou stranu konjugátem # 1-cena # (který je # 1 + cena #), aby se využil rozdíl ve vlastnostech čtverců:

# (2sint) / (1-náklady) (1 + náklady) / (1 + náklady) = (2 (1 + náklady)) / sint #

# -> (2sint (1 + náklady)) / ((1-cena) (1 + cena)) = (2 (1 + náklady)) / sint #

Znovu to můžeme vidět # (1-cena) (1 + náklady) # je rozdíl čtverců, s # a = 1 # a # b = cena #. Vyhodnocuje # (1) ^ 2- (cena) ^ 2 #, nebo # 1-cos ^ 2t #. Už jsme to ukázali # sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, takže jmenovatel bude nahrazen:

# (2sint (1 + náklady)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + náklady)) / sint #

Sines zruší:

# (2záznam (sint) (1 + náklady)) / (zrušit (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + náklady)) / sint #

A voila, důkaz:

# (2 (1 + náklady)) / sint = (2 (1 + náklady)) / sint #

Odpovědět:

Nech mě to vyzkoušet

Vysvětlení:

# LHS = sint / (1-cena) + (1 + cena) / sint #

Kontrola RHS bereme běžně# (1 + cena) / sint #

Tak

# LHS = (1 + náklady) / sint (sint / (1 + cena) * sint / (1 cena) +1) #

# = (1 + náklady) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + náklady) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + cena) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + náklady)) / sint = RHS #

Se ukázala