Jak najdu integrální int (x * ln (x)) dx?

Využijeme integraci jednotlivých částí.

Zapamatujte si vzorec IBP, který je

#int u dv = uv - int v du #

Nechat #u = ln x #, a #dv = x dx #. Vybrali jsme tyto hodnoty, protože víme, že derivace #ln x # je rovný # 1 / x #Znamená to, že místo integrace něčeho složitého (přirozeného logaritmu) nyní skončíme integrací něčeho snadného. (polynomiální)

Tím pádem, #du = 1 / x dx #, a #v = x ^ 2/2 #.

Zapojení do vzorce IBP nám dává:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx #

An #X# bude zrušen z nového integrandu:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx #

Řešení lze nyní snadno nalézt pomocí pravidla napájení. Nezapomeňte na konstantu integrace:

#int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - x ^ 2/4 + C #

Jak najdu integrální int (ln (x)) ^ 2dx?

Naším cílem je snížit sílu ln x tak, že integrál je snazší vyhodnotit. Toho můžeme dosáhnout pomocí integrace částí. Mějte na paměti vzorec IBP: int u dv = uv - int v du Nyní budeme u = (lnx) ^ 2 a dv = dx. Proto du = (2lnx) / x dx a v = x. Nyní, sestavení kusů dohromady, dostaneme: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Tento nový integrál vypadá mnohem lépe! Zjednodušení trochu, a uvedení konstanty zepředu, výnosy: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Nyní, abychom se zbavili tohoto další

Jak najdu integrální int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Použití integrace pomocí částí, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Nezapomeňte, že integrace podle částí používá vzorec: intu dv = uv - intv du Který je založen mimo pravidlo produktu pro deriváty: uv = vdu + udv Abychom mohli tento vzorec použít, musíme se rozhodnout, který termín bude u, a který bude dv. Užitečný způsob, jak zjistit, který termín jde, kde je metoda ILATE. Inverzní Trig Logaritmy Algebra Trig Exponenciály To vám dává pořadí priorit

Jak najdu integrální int (x * cos (5x)) dx?

Budeme mít na paměti vzorec pro integraci částí, což je: int u dv = uv - int v du Abychom tento integrál úspěšně našli, necháme u = x a dv = cos 5x dx. Proto du = dx a v = 1/5 sin 5x. (v lze nalézt pomocí rychlé u-substituce) Důvod, proč jsem si vybral x pro hodnotu u, je proto, že vím, že později skončím integrací v násobené u derivací. Vzhledem k tomu, že derivace u je jen 1, a protože integrace trigonové funkce sama o sobě neznamená, že by to bylo složitější, efektivně jsme odstranili x z integrandu a teď se musíme starat pouz