Otázka # f8e6c

Odpovědět:

Vyjádřete ji jako geometrickou řadu, abyste našli součet #12500/3#.

Vysvětlení:

Vyjádřme to jako součet:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (1.12) ^ - k #

Od té doby #1.12=112/100=28/25#, to odpovídá:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (28/25) ^ - k #

Použití skutečnosti, že # (a / b) ^ - c = (1 / (a / b)) ^ c = (b / a) ^ c #, my máme:

#sum_ (k = 1) ^ oo 500 (25/28) ^ k #

Také můžeme vytáhnout #500# z označení součtu, jako je tento:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

Dobře, co to je? Dobře, #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k # je to, co je známo jako geometrické řady. Geometrické řady zahrnují exponenta, což je přesně to, co zde máme. Ta úžasná věc o geometrické sérii, jako je tato, je to, že se sčítají # r / (1-r) #, kde # r # je společný poměr; tj. číslo, které je zvýšeno na exponent. V tomto případě, # r # je #25/28#, protože #25/28# je to, co je vyvýšeno na exponenta. (Boční poznámka: # r # musí být mezi #-1# a #1#nebo jinak série nepřidává nic.)

Proto je součet této řady:

#(25/28)/(1-25/28)#

#=(25/28)/(3/28)#

#=25/28*28/3=25/3#

Právě jsme to objevili #sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k = 25/3 #, Takže jediná věc, která zbývá, je násobit to #500#:

# 500sum_ (k = 1) ^ oo (25/28) ^ k #

#=500*25/3#

#=12500/3~~4166.667#

Více o geometrických sériích se dozvíte zde (doporučuji, abyste sledovali celou sérii Khan Academy na geometrických řadách).