Vypočítat součet (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Odpovědět:

Teleskopingová řada 1

Vysvětlení:

#Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1))) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) #

#Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) #

Jedná se o sbíhavou (teleskopickou) sérii.

Jeho první termín je

# -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

Odpovědět:

Viz. níže.

Vysvětlení:

To je ekvivalentní

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + sum_ (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 sum_ (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

Ukažte, že 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), pro n> 1?

Níže Chcete-li ukázat, že nerovnost je pravdivá, použijete matematickou indukci 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) pro n> 1 Krok 1: Proveďte pravdu pro n = 2 LHS = 1 + 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 Protože 1 + 1 / sqrt2> sqrt2, pak LHS> RHS. Proto platí pro n = 2. Krok 2: Předpokládejme, že platí pro n = k kde k je celé číslo a k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) Krok 3: Když n = k + 1, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) tj. 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt

Boční délky akutního trojúhelníku jsou sqrtn, sqrt (n + 1) a sqrt (n + 2). Jak najdete n?

Pokud trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník, pak čtverec největší strany se rovná součtu čtverců menších stran. Trojúhelník je však ostrý. Takže čtverec největší strany je menší než součet čtverců menších stran. Proto (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1